◆回到大一：CFA第一級考試中的數量分析
(文/劉作時 金證照顧問(股)公司 執行副總)

特許財務分析師(CFA)第一級考試的「過人之處」在於它要我們把大一大二所學的東西再考一遍，無怪乎現在有幾家私立大學打算要求財金系畢業生一定要考過CFA第一級才能畢業，雖然這項規定過於嚴苛，但也反應CFA第一級考試的包羅萬項，等於將一個財金系的學生從大一到大四的知識做一個總體檢，只是考題更為實務，這樣更好，這樣意謂著學生畢業後帶著CFA第一級考試的考取證明書去求職時，比別人機會多了很多。而且CFA是英文考試，更能讓雇主對考過第一級考試的年輕人有「秀才不出國，能知天下事」的好感。

其中，第一級考的投資數量分析就是大一上過的統計部分課程，指定的教科書為 Quantitative methods for Investment Analysis。這本教科書的前八章是第一級考試的範圍。以下我們就來探討第一級考試的重點所在。

一、時間價值
首先是考你時間價值，最重要的是考年金，年金是每年存一筆固定的金額，退休時有多少錢出來，這涉及到複利期間有幾次以及利率是多少的問題。CFAI規定考CFA的考生只能帶兩款式的計算機，這兩款計算機都有預設年金問題的工作表，考生只要觀念正確，計算的問題交給這兩款專用財務計算機二三下答案就出來了。

利率可分為牌告年利率及有效年利率，兩者的分別在於前者是一年利息滾利一次，後者則看一年滾利的次數多少，進行滾利的動作，來決定期未本利和多少，再減掉期初值，就是有效年利率的觀念。其實牌告年利率和有效年利率利用指定計算機可以輕易算出，因為這些財務計算機早以內建處理這種利率問題的邏輯在內。

二、統計基本觀念及市場報酬率
在投資學裡，你常常會將一個資產每一個期間的報酬率分佈情況做算單的歸納統計，你會想知道這些報酬率排列下來的一些重要位置，如四分之一的位置其值是落在那裡，中間(二分之一)的位置其值應該落在那裡。在報酬率的陳列中，你就很想想知道它們的平均數在那裡，譬如說你想知道過去十年台灣的中小型基金的年報酬率平均數是多少。

你要會計算一項資產的期間持有報酬率(Holding period return)，以及計算一個資產過去幾期的幾何平均報酬率( geometric mean return)。在面對未來有風險的不同情境中，我們比較喜歡用算術平均報酬率(arithmetic mean return)來評估投資案，這樣比較能反應其風險貼水。再者，一個資產的報酬率分佈有時會有不對稱的情況，有時會有比較集中在平均數，但又有胖尾分佈的情況。

三、機率概念
邊際機率和條件機率都是在做投資時會用到的觀念。特別是條件機率，我們每天在做決策時都假設如果一個條件發生，則發生另外一件事情的機率會不會改變。例如，如果當天清晨美國的那斯達克指數或是費城半導體指數上漲超過1%，則台股開盤後在30分鐘內能上漲1%的機率有多少，和如果那斯達克指數下跌1%，台股在開盤30分鐘內能上漲1%的機率，如果有所不同，則條件機率就能形容一個事件和另一事件的關係。如果兩個事件不會受到條件機率的影響，則其交集直接相乘即可求得。

貝氏定理是另外一個有趣的應用。假設我們預估台積電即將公佈的財報高於分析師預期的機率是60%，我們能不能藉由觀察另一事件的發生機率，來將我們所認為台積電會調高獲利預期的機率再往上調。假設，在台積電宣佈其最近一季的獲利數字之前，如果台積電宣佈調高今年的資本支出，根據我們的判斷，台積電調高資本支出，有多少機率會在前一季不同的獲利可能情況下發生。當我們利用主觀的方法得知這個機率分佈後，就可以反推當台積電宣佈資本支出要增加時，其代表即將公佈的獲利數字會高於預期的可能性，可以大大增過原先的60%。

四、常用分配類型
二項式分配是假設每一次實驗的結果只有兩種可能，成功或失敗。每一次實驗成功或失敗的機率均相同，且每次實驗的結果都是獨立事件，也就是股票如果前一天漲(代表成功)，則下一天漲或是跌的機率不會受前一天的影響。幾次實驗下來，我們關心成功次數與其對應的機率有多少，也關心成功次數的期望值及標準差有多少。

常態分配是推論統計學中的一大假設，雖然它不適合所有的數列分配，如股價本身可能就不符合常態分配(因為股價不可能低於0)，但是股價的報酬率就可能符合常態分配。常態分配的特性是如果我們知道平均數及標準差，則任何一個數值我們都可以知道它的相關位置在那裡，也就是它出現的機率有多少。常態分配機率在平均數兩邊對稱，偏態係數為零，超額?態係數為零，平均數等於中數等於眾數。標準常態分配是將常態分配變數標準化的過程，利用常態分配變數可以查表求得在它左方及右方的面積或機率有多少。

五、抽樣及估計
實務上我們不可能對母體中的每一個觀察值做處理，這樣做未免太不經濟，於是我們利用抽樣得出一個統計數，如樣本平均數，來進行我們對母體平均數的了解。譬如說電視台做民調的時候不可能針對1仟4百萬人的合格選民做民調，於是它只取1000人做抽樣，抽樣就會有誤差。所以我們常聽電視台會說這次民調的抽樣誤差是正負3%，就是在講信賴區間。

不管我們的母體是不是常態分配，樣本平均數分配如果要長的像常態分配，則樣本的觀察個數就要夠大，才可以利用中央極根定理了解其平均數及標準差的數值。當我們抽樣一次，了解其樣本平均數，我們想知道樣本平均數到底離母體平均數多近。我們可以利用常態分配的特性，定出幾個標準差內會有百分之多少的樣本平均數會落在我母體平均數的一個範圍中。這個陳述叫估信賴區問。信賴區間講的是我不知道我的母體會在那裡，但利用樣本平均數分配為常態分配的定理，我可以說我觀察到的這個獨特的樣本平均數會有多少的信心水準，其真正母體平均數會落在這一個範圍內。

六、假設檢定
如果我們假設母體平均數是一個定數，或我們懷疑母體平均數可能會大於一個定數，或小於一個定數，這時候我們利用假設檢定的方法處理。譬如說我們懷疑台積電的系統性風險貝它係數到底等不等於市場風險，這時我們要先訂出顯著水準，決定接受拒絕法則(訂出臨界值)，再算出z值或t值，將計算值和臨界值做比較，進而做出結論。但是我們在定出顯著水準的時候，也訂出了型一誤差(Type I Error)。另外一種作法是先認為基本假設是對的，然候將計算出來的觀察值換算成機率值(p value)，進而判斷發生該機率的可能性之大小，而讓測試者自已決定要不要拒絕基本假設。

七、相關與迴歸
相關係數是衡量兩個變數的線性關係，如果兩個變數亦步亦趨，則我們說這兩個變數正相關，譬如台積電與聯發科之間正的相關係數很大，代表台積電漲的時候，聯發科也漲的機率很大，但兩者的因果關係並不知道。相關係數在投資組合管理中代表重要的意義: 兩個資產其相關係數正的程度愈小或是負的程度愈大，則兩個資產加總在一起其風險變小的程度就會愈大。

簡單迴歸分析是利用最小平方法的觀念，找個一個自變數和因變數之間的最佳線性關係，這個關係能夠利用自變數值和斜率及截距來預測因變數值，這個方法當然不可能十全十美，但只要新的迴歸線相對於沒有自變數時我們用因變數的平均值比較起來好很多的話，我們就說這條迴歸線的判定係數很高。最後，我們可以利用變異數分析表(Analysis of Variance)來計算判定係數、迴歸標準誤、F檢定等等工作。

*作者金證照顧問公司(www.gocharter.com.tw)總經理